Matemática Aplicada (Biomatemática): Un Departamento singular
María Cristina Martínez Calvo
Alberto Pérez de Vargas
Departamento de Matemática Aplicada (Biomatemática), Facultad de Biología
En su forma actual, la organización departamental de las
universidades tiene su origen en las numerosas disposiciones
legislativas que transformaron el sistema educativo español
durante la primera mitad de la década de los años
ochenta, concretamente en lo dispuesto en la Ley Orgánica 11/83,
de 25 de agosto, de Reforma Universitaria, y en su desarrollo
posterior, especialmente en el Real Decreto 2360/1984 de 12 de
diciembre. En tal sentido, la gran mayoría de las unidades que
organizan la enseñanza y la investigación en el
ámbito de amplias parcelas del conocimiento, tienen una realidad
que es consecuencia de procesos paralelos que empiezan, con
pequeñas diferencias, al mismo tiempo. Sin embargo, los
Departamentos universitarios se han edificado sobre una, no pocas veces
larga, historia en la que tanto la diversidad de los saberes como las
decisiones políticas, la cambiante ordenación de la
sociedad de cada época y la personalidad de sus actores han
influido notablemente. Por lo general hay pocas diferencias esenciales,
aun teniendo en cuenta la gran variedad de elementos distintivos que
los caracterizan, entre los cauces que han conducido a la
definición de los Departamentos que constituyen las unidades de
referencia del complejo universitario. Un caso singular es el del que
nos ocupa. No solamente es único en la geografía de las
universidades españolas sino que casi podría decirse que
su existencia es fruto del azar y de la necesidad. En el caldo
primigenio del que surgieran estas organizaciones se produjo un hecho
inesperado, altamente improbable, y sin embargo moderadamente
necesario, que generó un escenario sin precedentes en el que fue
posible que se llegara a construir un Departamento que fuera como
éste y se llamara de este modo.
Conviene partir de una descripción general de
lo que es. Sus actividades se desarrollan en la Facultad de
Biología, donde reside la Dirección, en la Escuela
Universitaria de Óptica, con una Sección Departamental, y
en la Facultad de Ciencias Geológicas. Durante unos años
también en la Facultad de Ciencias Físicas. Las grandes
áreas de conocimiento en las que participa su profesorado
inciden en la Matemática, la Estadística, la
Informática y las Neurociencias, y entre las enseñanzas
que imparte se encuentran, aparte de las materias básicas
habituales en los planes de estudios de las carreras sobre las que
tiene responsabilidades docentes, asignaturas tales como Modelos y
redes neuronales, Bioinformática; formando las dos parte, por
primera vez, de un plan de estudios de licenciatura en Biología;
Biorrobótica, Teoría y simulación de procesos
biológicos, Vida artificial, Modelos de interés en la
toma de decisiones, Simulación del sistema visual y algunas
otras de similar hechura e infrecuente presencia en las carreras
ordinarias. Durante un tiempo dispuso de un programa de doctorado en
Biomatemática, el primero de su género en España
impartido en una Facultad, que culminó en la redacción de
una docena de tesis doctorales, y actualmente participa en otro de
más amplio espectro denominado Neurociencias y en un programa de
postgrado en Óptica, Optometría y Visión. Su
interdisciplinaridad contextual y los campos científicos que se
ofrecen a las posibilidades cognitivas de los estudiantes, son ya una
manifiesta singularidad en el panorama universitario de nuestro
país. Entre el personal adscrito al Departamento o que
interviene en sus tareas de investigación hay matemáticos
y biólogos, sobre todo, pero también físicos,
ingenieros y médicos. En su ámbito se creó en
1986, por primera vez en la Universidad Complutense, un Aula de
Informática con fines docentes.
Nuestro Departamento no es "histórico",
además de por su juventud y por ser uno de los últimos
que se crearon "es el número 181 de los constituidos en la
Universidad Complutense" al amparo del decreto 2360/1984 ya citado,
porque no hereda nada, no recibe un legado de mayor o menor
antigüedad. No tiene antecedentes. Lo más lejos que podemos
llegar y ese será el punto de partida de nuestra historia, es a
una casualidad derivada de una decisión política tomada
cuando empezaba la década de los años ochenta, que
provocó la dotación en la Facultad de Biología de
la UCM, de una Cátedra y de una plaza de Profesor Titular de
Biología Matemática. Era la primera vez que
aparecía el nombre en el inventario de plazas universitarias
dotadas en España. Únicamente en Alcalá
existía entonces una asignatura denominada Biomatemática,
caso único en un plan de estudios en vigor en una universidad
española. En nuestra Facultad existió una asignatura
denominada Biología Matemática pero había
desaparecido en el último cambio del plan de estudios. Por otra
parte, el Departamento no está vinculado a la Facultad de
Matemáticas. No hay ninguna universidad en España en la
que ocurra algo parecido.
Política y Universidad en los
primeros años ochenta
Alguien ha dicho, con mucho acierto "quizás fuera Leopoldo
Calvo-Sotelo y Bustelo" que la Unión de Centro
Democrático, UCD, fue un partido creado para darle sentido a un
Gobierno. Su concepción, primero como coalición y
más tarde configurando un verdadero partido político
estuvo siempre asociada al diseño de un tejido para conformar un
Gobierno. Normalmente los partidos compiten para alcanzar el poder, la
UCD se creó coyunturalmente para gobernar. Fue una
coalición que terminó en partido y cuando lo fue se
hundió estrepitosamente. Después de dos gobiernos
preconstitucionales que duran, respectivamente, seis meses y un
año, desde el día 12 de diciembre de 1975 al día 4
de julio de 1977 y de otros dos dentro del periodo constituyente de la
transición política, que se mantienen a lo largo de algo
menos de dos años, hasta el día 6 de abril de 1979, se
constituye el tercer gobierno de la UCD que dura poco más de un
año, hasta el día 2 de mayo de 1980. Entre esa fecha y la
llegada del Partido Socialista Obrero Español, PSOE, se suceden
seis crisis ministeriales. En el segundo gobierno de la UCD
había un ministerio de Educación y Ciencia y en el
tercero aparece, además, uno de Investigación y
Universidades que se conserva en el cuarto y en el quinto,
desapareciendo en el sexto, el día 26 de febrero de 1981, cuando
la UCD está anunciando su final tras la dimisión de
Adolfo Suárez González y durante el que tendrá
lugar un golpe de Estado. Al desaparecer el efímero ministerio
de Investigación y Universidades "tres gobiernos y menos de dos
años" el ministro Luis González Seara revolvió los
papeles pendientes y entre ellos descubrió una larga
relación de peticiones no atendidas que se iban amontonando y
sobre las que nada se había resuelto.
Curiosamente, la Universidad de Alcalá,
había solicitado la dotación de una Cátedra o, en
su defecto, de una agregaduría de Biomatemática y
poseía una asignatura de esa denominación en el plan de
estudios vigente de la licenciatura en Biología. El ministerio
resolvió negativamente la petición a pesar de que se
trataba de una denominación ya relativamente familiar en el
medio científico. La "Society for Mathematical Biology"
tenía más de cincuenta años de vida y su medio de
expresión, el "Bulletin of Mathematical Biology", era entonces
una publicación prestigiosa. Circulaban revistas con nombres
tales como "Journal of Mathematical Biology", "Journal of Theoretical
Biology" o "Mathematical Biosciences", y una editorial de la
importancia de Springer disponía de una línea editorial
titulada "Lectures Notes in Biomathematics", con más de cien
monografías publicadas, y de otra, "Biomathematics", con una
veintena de volúmenes de mayor formato. La Mathematical
Association of America tenía una colección de
monografías específicamente dedicadas a la
Biomatemática: "Lectures in Biomathematics", y los famosos
"Mathematical Reviews" de la American Mathematical Society
disponían de un epígrafe para la Biología al mismo
nivel que los dedicados a especialidades clásicas de
Matemática pura y aplicada. En la Nomenclatura Internacional
para los Campos de la Ciencia y la Tecnología de la UNESCO, la
Biomatemática figuraba con los dígitos principales 2402,
al mismo nivel que el Álgebra (1201), el Análisis
Matemático (1202), la geometría (1204) o la
Estadística (1209). De nada valieron los documentados informes
que se elevaron desde el Decanato de la Facultad de Ciencias ni la
cobertura unánime prestada por la Junta de Gobierno de la
Universidad de Alcalá. Como en tantas otras ocasiones,
había razones que la razón no entendía, para
denegar la petición, y la iniciativa de dar forma administrativa
a una disciplina de evidente proyección e interés se
quedó en buenas intenciones y en regulares palabras.
La derrama
ministerial
En los primeros meses del año 1981 el Boletín Oficial del
Estado publica una numerosa relación de nuevas dotaciones de
Cátedras y de Titularidades de Universidad. Forman parte de
algunas de las últimas disposiciones legislativas y decisiones
de un gobierno sustentado por un partido que agonizaba amenazado por
los poderes que aún permanecían atrincherados en la
nostalgia de los absolutismos totalitarios. El presidente
dimitía el día 29 de enero y España se
disponía a sortear no pocos obstáculos en el
difícil y brillante camino que estaba recorriendo. El ministro
de Investigación y Universidades quizás pensara que las
dotaciones serían un postrer buen servicio a la vieja
institución universitaria y que, teniendo que abandonar la nave,
el gasto que producirían no sería ya cosa suya y, por lo
tanto, no le acarrearía ningún desequilibrio. Entre ellas
estaban una Cátedra y una plaza de Profesor Titular de
Biología Matemática en la Facultad de Biología de
la Universidad Complutense. Correspondían a una petición
ya olvidada que muchos años atrás elevó su Junta
de Gobierno aprobando una solicitud de la Junta de Facultad que
recurría a la Administración para resolver el permanente
conflicto que los alumnos tenían planteado ante el modo en que
se desarrollaban las enseñanzas de las asignaturas de
matemáticas. Si ya es natural la dificultad que el lenguaje
formal de la Matemática plantea a estudiantes con
vocación experimental, imponerles el estudio de una materia que
se impartía y se sigue impartiendo en la práctica
totalidad de las carreras de ciencias experimentales y aplicadas, sin
la menor preocupación por el contexto en que se encuentra, es
fuente inagotable de conflictos. En la época, los estudiantes de
nuestra Facultad se quejaban del estado de cosas y seguramente fue ello
lo que a alguien le inspiró la necesidad de recurrir a un nombre
que aludiera, ex novo, a la disciplina y al lugar. El caso es que se
solicitaron las mencionadas dotaciones y cuando ya nadie se acordaba de
ello, aparecieron en el BOE.
Como podía esperarse, la dotación de
esas dos plazas, causaron sorpresa y animaron algunas expectativas.
Debe tenerse en cuenta que entre los cuerpos funcionariales del
profesorado universitario estaba el ya extinguido de Profesores
Agregados de Universidad, una situación administrativa
intermedia entre la de los Profesores Titulares, antes Adjuntos, y los
Catedráticos. Para alcanzar la Cátedra era necesario ser
Profesor Agregado y superar un concurso de méritos en el que
podría competirse con otros, de modo que la nueva
dotación abría expectativas a los profesores que
aspiraban a convertirse en catedráticos. Con la
legislación vigente en aquel momento, había que definir,
dada la peculiar circunstancia de que se trataba de un nuevo nombre,
quiénes eran los que podían aspirar a ocuparla. No
obstante, algunos creían que precisamente por no disponer de
equiparaciones, la plaza tenía que salir a concurso de acceso y
ya se encargarían desde dentro de la Facultad de
instrumentalizar los mecanismos necesarios para señalar al
aspirante. No se dieron cuenta de que podía darse el caso de que
algún catedrático exigiera el turno de traslado que, en
ese momento, era un turno previo al de acceso como ya el sentido
común señala. Lo natural es dar preferencia en derechos a
los que son frente a los que quieren serlo. La polémica estaba
servida.
Había un Catedrático
Un catedrático, entonces Decano de la Facultad de Ciencias
(Biológicas y Químicas) de la Universidad de
Álcalá, manifestó oficialmente al departamento
ministerial su derecho a participar en un concurso de traslado y a
aspirar, previamente, a que la Cátedra que ostentaba fuera
considerada semejante a la convocada. Tal semejanza o
equiparación, la basaba en el contenido del programa al que
opositó y en el ámbito donde radicaba la Cátedra.
Tras un proceso de no poca complejidad en el que se produjeron acciones
y reacciones, el Catedrático de la Universidad de Alcalá,
Alberto-Ignacio Pérez de Vargas Luque logró ser admitido
para participar en el concurso de traslado. Su condición de
matemático animó más, si cabe, la polémica.
El corporativismo y los problemas con las matemáticas tenidos
desde siempre por los alumnos, unidos quizás a determinadas
expectativas que no es al caso comentar, formaban un cúmulo de
prejuicios que encendieron los ánimos contra la posibilidad de
que un matemático ocupara la Cátedra. No parecía
que nadie se diera cuenta de que es el método lo esencial en las
disciplinas aplicadas, y no el lugar en que las aplicaciones se llevan
a cabo que, siendo muy importante, no condiciona al especialista en la
herramienta sino en la necesidad de emplearla en el campo que se le
indica. La Matemática Aplicada es Matemática, cualquiera
que sea el apellido. Además, siendo la Matemática un
lenguaje y la Biología una ciencia experimental, conviene que
sea el lenguaje el dominio preferente.
Por primera vez en una Facultad
específicamente consagrada a la Biología había un
Catedrático de Biología Matemática y, en poco
tiempo, habría una Profesora Titular. Alberto Pérez de
Vargas Luque toma posesión el día 18 de noviembre de 1981
y María Cristina Martínez Calvo se incorpora con destino
provisional en el mes de julio de 1983. Constituyen ambos el germen de
un grupo de profesores de formaciones diversas y clara vocación
interdisciplinar, que formarían el Departamento cuya
denominación actual se adquiere, once años más
tarde, por acuerdo de la Junta de Gobierno del día 18 de
diciembre de 1992. Ello supuso que las enseñanzas de
Matemáticas, Estadística e Informática
serían progresivamente impartidas por un profesorado
adscrito a la Facultad de Biología. El gran paso dado
propició un clima de integración y aceptación de
estas materias en la licenciatura en Biología, que no tiene
precedentes en España. Pero la denominación
"Biología Matemática" desaparecería en poco
tiempo. El catálogo de Áreas de Conocimiento consecuencia
del desarrollo legislativo que sigue a la LORU, promulgada en 1983, no
consideraba la inclusión como tal de una con ese título.
La existencia de solamente una Cátedra y una Titularidad, unida
a la escasez y dispersión de intereses del profesorado de
Bioestadística, por lo general radicado en Facultades de
Medicina, y las exigencias de número y categoría para la
formación de Departamentos, impedía la formación
de un colectivo con la fuerza suficiente para propiciar la
creación de un área, no obstante reconocida en los
ambientes científicos. Todos los biomatemáticos de
nuestra Facultad se integrarían, en su momento, el área
de Matemática Aplicada.
El área Matemática
Aplicada
El nombre del área de conocimiento "Matemática Aplicada"
también desencadena una regular polémica. Antes no
existía ni en dotaciones de plazas ni en asignaturas. En el
primer catálogo, que se publica para ordenar una convocatoria
excepcional de pruebas de acceso al profesorado, apellidadas "de
idoneidad", no apareció. En su lugar se incluía un
área denominada "Matemática Aplicada a la
Ingeniería". El Gobierno socialista de 1982 pretendía con
esa convocatoria "partir de cero" eliminando al numerosos profesorado
no numerario; es decir, provisional y sujeto a una renovación
anual. Para ello convocó unas pruebas de valoración, no
presenciales, en las que se "idoneizaba" al aspirante supuestamente
válido y se le convertía en Profesor Titular de
Universidad en donde quiera que estuviera. Al mismo tiempo, se
establecía que para todos aquellos "idóneos" que no
dispusieran de destino por la circunstancia que fuera, se
dotaría una plaza a la medida, previa petición del
centro. Por ejemplo, a los colaboradores científicos del Consejo
Superior de Investigaciones (CSIC) que se les "idoneizaba" de manera
automática, sin participar en el concurso de méritos, se
les dotaría una plaza en donde fueran admitidos. Precisamente
por este procedimiento se incorporó en 1985, Emiliano
Fernández Bermejo, fallecido en septiembre de 2005. Pues bien,
dado que ese catálogo iba a condicionar los nombres de las
futuras plazas del profesorado, Alberto Pérez de Vargas
gestionó con éxito y no sin esfuerzo, la
desaparición de la frase "a la Ingeniería" que
habría dificultado la definición de las plazas de
matemáticas que se dotaran en Facultades o en otros centros que
no fueran Escuelas Técnicas. Además, Matemática
Aplicada era una denominación consagrada en la comunidad
científica internacional.
En las Facultades de Matemáticas
españolas, sin embargo, se tenía, en general, por cierto
el supuesto de que eso de Matemática Aplicada no cabía en
sus dominios, que todas las matemáticas y todos los
matemáticos son o no aplicados según se pongan a hacer
una cosa u otra. Tanto es así que iniciado el proceso de
creación de Departamentos en nuestra universidad, la Junta de la
Facultad de Matemáticas donde algunos profesores se
habían adscrito a ese área de conocimientos,
rechazó por una mayoría considerable la creación
de un Departamento con esa denominación. Por el contrario, el
Departamento se creó en la Facultad de Biología y esta
operación permitió que como aconsejaba el sentido
común, su sede radicara en la Facultad de Matemáticas.
Alberto Pérez de Vargas presidió, como profesor de mayor
categoría y más antiguo, las reuniones y los actos
administrativos que culminaron en la creación de un Departamento
de Matemática Aplicada radicado en la Facultad de
Matemáticas y de una Sección Departamental en la Facultad
de Biología. Renunció a presentar candidatura a la
dirección del Departamento y optó por hacerse cargo de la
de la Sección Departamental. En esas fechas, era el año
1988, el profesorado de matemáticas destinado en la Facultad no
reunía las condiciones exigidas por la ley para la
formación de un Departamento. La Sección Departamental se
constituyó con un catedrático de universidad,
Alberto-Ignacio Pérez de Vargas Luque, cuatro profesores
titulares, Mª Cristina Martínez Calvo, Emiliano
Fernández Bermejo, Jesús López Sánchez y
Santiago López de Ipiña Mattern y nueve profesores no
numerarios, Julio Alonso Fernández, Ana Isabel Durand
Alegría, Rafael Lahoz Beltrá, Víctor Jesús
Abraira Santos, María Luisa Pérez Carrillo de Albornoz,
Francisco Conejero Meca, Luis Bernal Campo, José Luis
Láiz Castro y Antonio Rosas González.
Desde el momento de creación de la
Sección Departamental, su director tenía el proyecto de
convertirla en Departamento. Había que esperar a que la entidad
del grupo fuera mayor. Ello se consiguió incorporando al
profesorado de matemáticas adscrito a la Escuela Universitaria
de Óptica que añadía dos profesores titulares de
Escuela Universitaria y seis no numerarios. La solicitud fue elevada el
día 21 de abril de 1989 y aunque superó con éxito
el difícil trámite de conseguir la aprobación del
Consejo de Departamento, no logró ser informada favorablemente
por la Junta de la Facultad de Matemáticas. Tanto la Facultad de
Biología como la Escuela Universitaria de Óptica
informaron favorablemente la propuesta. El nombre al que aspiraban los
solicitantes era el de Matemática Aplicada II
(Biomatemática); pero, a pesar de ser el adecuado, desde una
consideración objetiva de las motivaciones, y el que fue
manifiesta y explícitamente apoyado por la Facultad de
Biología, el Consejo de Departamento, aunque acordara emitir
informe favorable, lo hizo proponiendo el nombre de Matemática
Aplicada II (Biología y Óptica). En ese momento, la
inteligencia aconsejaba superar la etapa de creación y
reservarse una posterior ofensiva para el nombre. Numerosos informes y
gestiones hicieron falta para lograr el primer objetivo, pero al fin,
la Junta de Gobierno acordó el día 22 de febrero de 1990
remitir la documentación a la Comisión Técnica de
Departamentos que acordó por mayoría, el día 5 de
abril siguiente, la creación del Departamento número 181,
con el nombre sugerido por el Consejo. Comunicado oficialmente el
día 22 de mayo, por el Vicerrectorado de Departamentos y
Centros, se constituyó el día 15 de junio con los
siguientes miembros: Alberto-Ignacio Pérez de Vargas Luque (CU),
Mª Cristina Martínez Calvo (PTU), Emiliano Fernández
Bermejo (PTU), Jesús López Sánchez (PTU), Santiago
López de Ipiña Mattern (PTU), Ana Isabel Durand
Alegría (PTU), Julio Alonso Fernández (PTEUi),
María Luisa Pérez Carrillo de Albornoz (Ay), Luis Bernal
Campo (PA), Víctor Jesús Abraira Santos (PA), José
Luis Láiz Castro (PA) y Francisco Conejero Meca (PA), en la
Facultad, y Ezequiel de Abia Suazo (PTEU), Emilia Rodríguez
Santamaría (PTEU), Almudena de la Torre Adrados (PTEUi), Manuel
Delgado Casanova (PTEUi), Concepción Collado Gómez (Ay),
Arturo Rodríguez Franco (Ay), José Gil Martos (PA) y
Eugenio Ubieta Bravo (PA), en la Escuela. En el mismo acto, Alberto
Pérez de Vargas sometió a la consideración de la
totalidad de los miembros del nuevo Departamento, con carácter
vinculante, la decisión que debía tomar él acerca
de presentar o no candidatura a la Dirección. En ese momento, la
legislación ordenaba la explícita renuncia de los
catedráticos como exigencia previa a que la Dirección
pudiera ser ejercida por un profesor titular. Tras la consulta, se
constituyó el Consejo de Departamento y Alberto Pérez de
Vargas presentó candidatura a la Dirección resultando
elegido. Inmediatamente procedió a nombrar secretario a Emiliano
Fernández Bermejo y a la constitución de la
Sección Departamental de la E.U. de Óptica, de la que
sería elegido Director, Ezequiel de Abia Suazo. El cambio de
nombre era el objetivo siguiente. Al comienzo del mes de Octubre de
1991, Alberto Pérez de Vargas presentó la
dimisión, dándose el Consejo por enterado el día 9
de octubre y convocando elecciones para el día 14. La
única candidata, Mª Cristina Martínez Calvo
resultó elegida y nombró secretaria a Mª Teresa
González Manteiga. En tres ocasiones más ha sido
reelegida, continuando en la actualidad y con el mismo equipo.
Después de tantos años tratando de dar
forma a un proyecto que se percibía extraordinariamente positivo
para la Facultad y de tantas dificultades que se oponían desde
varios frentes y por diversas causas, cuando terminaba el año
1992, el día 18 de diciembre, la Junta de Gobierno aprobó
el cambio de denominación quedando definitivamente establecido
el de Matemática Aplicada (Biomatemática) que
quizás por reflejar la realidad de lo que era, costó
tanto conseguir.
En la actualidad (2005/2006), el Departamento
está formado por el conjunto de los profesores de la Facultad y
los de la Sección Departamental de la Escuela. En la Facultad,
son los siguientes, por orden de categoría administrativa y
antigüedad (las abreviaturas se refieren a la licenciatura de
procedencia y al doctorado): Alberto-Ignacio Pérez de Vargas
Luque (CU, Mat, Dr. Mat), María Cristina Martínez Calvo
(PTU, Mat, Dr. Mat), Jesús López Sánchez (PTU,
Mat, Dr. Bio), Santiago López de Ipiña Mattern (PTU, Bio,
Dr. Bio), Ana Isabel Durand Alegría (Mat, Dr. Mat) María
Teresa González Manteiga (PTU, Mat, Dr. Mat), Rafael Lahoz
Beltrá (PTU, Bio, Dr. Bio) Antonio Murciano Cespedosa (PTU, Bio,
Dr. Bio), Emilia Rodríguez Santamaría (PTEU, Mat y Fis,
Dr. Bio), Julio Alonso Fernández (PTEU, Bio, Dr. Bio),
Víctor-Jesús Abraira Santos (PA, Fis, Dr. Bio), Javier
Zamora Romero (PA, Bio, Dr. Bio) Francisco Conejero Meca (PA, Mat),
Mario Reviriego Eirós (PA, Bio), Marta Juana Fernández
López (PA, Fis) y María Luisa Rapún Banzo (Ay,
Mat, Dr. Mat). En la Escuela: Fivos Panetsos Petrova (CEU, Mat. Dr.
Bio, Dr. Med), Almudena de la Torre Adrados (CEU, Fis, Dr. Fis),
Concepción Collado Gómez (PTEU, Mat), Manuel Delgado
Casanova (PTEU, Mat), Arturo Rodríguez Franco (PTEU, Fis, Dr.
Fis), Luis Bernal Campo (PA, Ing. Telec.), Luis Francisco
Rodríguez Ogando (PA, Mat), Felipe Paz Gómez (PA, Mat),
Ascensión Zancajo Benito (PA, Ing. Agro.) y Abel Sánchez
Jiménez (Ay, Bio). Están adscritos al Departamento, dos
investigadores del programa Ramón y Cajal, Valeri Makarov y
Petros Lenas, una investigadora del programa Juan de la Cierva, Laura
López Aguado, y una decena de becarios integrados en los
diferentes proyectos de investigación. Los proyectos
desarrollados recientemente o en vías de desarrollo son
"Modelización probabilística de la cooperación en
el uso de recursos compartidos" (Plan I+D+i) cuyo investigador
principal es Jesús López Sánchez, "Modelos
avanzados para la codificación de la información por el
Sistema Nervioso Central" (FIS: Fondo de Investigaciones Sanitarias)
cuyo investigador principal es Alberto Pérez de Vargas, y
"Approximately periodic representation of stimuli", "Representation of
stimuli as neuronal activity" y "Visual neuroprosthesis based on
adaptative Neurosilicon interfaces", los tres a cargo de la
Comisión de las Comunidades Europeas y con el mismo investigador
principal: Fivos Panetsos. Igualmente, han sido concedidos a grupos de
trabajo del Departamento, cinco proyectos de innovación
educativa (PIE) contextualizados en la confección de CDs
dedicados a la enseñanza de la Matemática y de la
Estadística a estudiantes de Biología, así como en
el diseño de un Aula Virtual de Bioestadística, citada a
modo de enlace vía Internet por numerosas universidades de todo
el mundo.
Pero, ¿qué es la
Biomatemática?
Conviene antes que nada advertir que, afortunadamente, no es posible
"sensu stricto" matematizar la vida, ni tampoco algo de ella. Sí
lo es, no obstante, penetrar en la lógica de los procesos cuyo
conjunto llamamos vida(1), incluso, más si cabe, cuando tales
procesos están fuertemente dominados por el azar. La
Matemática se ha construido inspirándose en lo que se ve,
en lo que se cree ver o en lo que la imaginación; comprendiendo
en el término, la fantasía; ha permitido concebir, pero
su espectacular desarrollo no se debe a ello sino al cauce deductivo de
su metodología. Un modelo matemático se construye
observando lo que ocurre; pero, también, imaginándolo. Y,
en todo caso, el proceso de abstracción es altamente
reduccionista, residiendo, precisamente en ello, la esencia del
quehacer matemático; esto es, unificar lo que en una inmensa
variedad, infinita podría decirse sin ningún temor, de
realidades hay de común. La Matemática
dispone de la Teoría de la Probabilidad para modelizar procesos
en los que no hay relación causa-efecto entre un antecedente y
un consecuente. La Teoría de la Probabilidad es una
teoría de la medida en cuanto pondera los resultados de un
experimento aleatorio. Puede decirse sin reservas que la Teoría
de la Probabilidad es la matematización del azar. Debido a ello,
es posible utilizarla para la modelización de situaciones en las
que no puede determinarse a priori el resultado de un proceso provocado
o desencadenado de modo natural o accidental. Los modelos
probabilísticos permiten tomar decisiones en condiciones de
incertidumbre y son, por ello, de una gran utilidad en todos los
ámbitos del conocimiento de las ciencias aplicadas,
observacionales o experimentales.
Wartofsky(2) ha descrito y ejemplificado muy bien la
relación causa-efecto. La asociación invariante de una
cosa con otra: "Siempre que el sol se pone obscurece". No
necesariamente obscurece porque el sol se pone pero cuando el sol se
pone necesariamente obscurece. En todo caso, las definiciones y el
significado de los símbolos no pueden dar lugar a la menor duda.
La definición, en su sentido fuerte "escribe, muy acertadamente,
C. Cañón(3)" solo es posible en Matemáticas pues
en ella, al contrario que en las ciencias empíricas, los
conceptos "nacen terminados". Implicación y
equivalencia suponen una relación causa"efecto entre antecedente
y consecuente. Se trata, por consiguiente, de una acción de
carácter determinístico. Volviendo a la frase utilizada
por Wartofsky: Siempre que el sol se pone obscurece, observamos que es
suficiente que el sol se ponga para que obscurezca; pero no es
necesario que el sol se ponga para que obscurezca. Que el sol se ponga
es, por lo tanto, una condición suficiente pero no necesaria
para que obscurezca. Una condición necesaria y suficiente es una
equivalencia.
La ecuación del movimiento uniforme de un móvil es e=vt:
el espacio recorrido por un móvil que se desplaza a una
velocidad constante se obtiene multiplicando la velocidad de
desplazamiento por el tiempo transcurrido. Establecida la velocidad, el
móvil recorrerá, inexorablemente, en un cierto
intervalo de tiempo una determinada longitud. No es necesario ni
siquiera observar lo que pasa, se sabe lo que va a pasar. Cuando se
modeliza un proceso caracterizado por esta posibilidad, se habla de
modelo determinístico. Los instrumentos matemáticos
utilizados en este ámbito de modelización son las
ecuaciones diferenciales y en diferencias, respectivamente.
Veamos, sin salirnos de lo elemental, el modo de
construir un modelo matemático basado en las ecuaciones
diferenciales(4)(5). Necesitaremos algunas definiciones y un poco de
retroalimentación intelectual. Una función de efectivos o
de población es una regla que asocia, sin ambigüedad, a la
variable tiempo una medida interpretada como aproximación de una
cantidad entera. Es un modelo para simular matemáticamente la
dependencia del tiempo de la cantidad de individuos que constituyen los
efectivos de una población entendida en sentido amplio; en
definitiva, f(t) es un número real cuyo redondeo al entero
más próximo es el de efectivos en el instante t, de la
población representada. Por ejemplo, si los efectivos de una
población obedecen al modelo f(t)=5et, sus efectivos en el
instante inicial t=0, serían 5 individuos y en t=5, 5e5
individuos. Como 5e5=5148,41316=742,0658, redondearíamos
concluyendo que la población tiene entonces 742 individuos. Una
población así entendida parece inspirarse; y así
es, en efecto; en las poblaciones animales, particularmente en la
humana; pero, debe observarse que no hay diferencias con con las
fluctuaciones de un capital, con la desintegración de un
elemento radioactivo, con las cantidades de metales pesados presentes
en un medio, con el crecimiento celular o con la evolución del
efecto de un médicamente.
Si llamamos "t a un pequeño incremento del tiempo t, el
cociente: , es la variabilidad de los efectivos relativa al intervalo
de tiempo (t, t+"t]. La variabilidad instantánea en t, es; es
decir: . Obsérvese que la variabilidad instantánea es lo
que se llama velocidad instantánea en la física del
movimiento. Como quiera que, en las funciones de efectivos, la
valoración de la evolución de un montante suele hacerse
refiriéndose a una tasa; es decir, a un cociente entre la
variabilidad y el número de efectivos; porcentaje cuando tal
número es 100; al cociente: se le llama tasa instantánea
de crecimiento. Supóngase, por ejemplo, que se estima que la
tasa de crecimiento de una población es constante: k(t)=k y, por
consiguiente; escribiendo y=f(t): . Recurriendo al cálculo
integral:
Despejando y y volviendo a llamar C a eC: que sería la
solución general del problema planteado. Una solución
particular se obtendría cada vez que se estableciera el
número de individuos que forman la población al comenzar
la observación; es decir, en el instante t=0. En la
solución general, hacer t=0 supone y=C o y=y0 llamando, como se
hace habitualmente, y0=f(0). Consecuentemente, la correspondiente
solución particular adoptará la forma genérica:
y=y0ekt. Cada valor de y0 fijará una solución particular
concreta y cada valor del parámetro k una
particularización del modelo.
El modelo descrito se llama modelo de Malthus(5). En la figura 1 se
hace una representación gráfica para un valor inicial
y0=100 y tres valores del parámetro k. La
expresión: , o, de modo más sencillo: , donde y es una
función de la variable real t "o, más generalmente, x- es
un ejemplo de ecuación diferencial cuya resolución supone
encontrar la familia de funciones y(t; C) que la verifica. Tal familia
es, para el modelo de Malthus, y=Cekt, donde C es un parámetro
diversificador de las curvas integrales o soluciones particulares. El
modelo exponencial de Malthus se ajusta razonablemente a realidades
diversas para tiempos no demasiado grandes. Mucho mejor adaptado a la
experiencia y con un alto grado de contenido prospectivo, es el modelo
logístico o de Verhulst(7). Una forma de presentarlo es la
siguiente:. Puesto que: , la ecuación logística, que es
como se denomina a esta ecuación diferencial, se presenta como
un modelo en el que se introduce un factor de freno: , a la
ecuación de Malthus: , con tasa r. Llamando, como habitualmente,
y0=y(0), la solución particular es la siguiente: . En la
solución se observa que a la larga; es decir, cuando t tiende a
infinito; la población se satura con un volumen de efectivos
y=K. Por esta razón a K se le llama tope.
En la figura 2 se han dibujado las gráficas de una curva
logística y de una exponencial de Malthus con k=r=1,2, y0=100,
K=5.000. Al comienzo de la observación, las curvas son
prácticamente coincidentes. Haciendo t=0,5 y llamando yM a la
ordenada correspondiente a Malthus y yL a la logística se
obtiene, redondeando al entero más próximo: yM=165,
yL=163. Sucesivamente, t=1 supone yM=332, yL=317 y t=1,5, yM=605,
yL=549. La inflexión se produce en el tiempo t=3,243.
Aunque de un modo algo más rústico, Malthus
estableció el modelo exponencial en 1798 observando la tendencia
de la población norteamericana de 1790 a 1890. Su estudio
concluía con la alarmante advertencia de que mientras los
recursos crecían en progresión aritmética, la
población lo hacía en progresión
geométrica. El modelo logístico, más realista, se
ha mostrado útil para describir la dinámica de
crecimiento de una amplia variedad de poblaciones, Pearl (8),
Slobodkin(9). El crecimiento celular de algunos tumores se ajusta al
modelo de Gompertz (Figura 3): , en el que la tasa instantánea
de crecimiento, que era constante en Malthus, es ahora la
función del tiempo: k(t)=re"at, siendo a una constante positiva
que actúa como freno. La solución particular para una
población inicial y0 es: . Por ejemplo, para r=0,001, a=0,2 y un
número inicial de células estimado en y0=104, la curva de
efectivos sería: que es la que corresponde a la dibujada en la
figura 3. Como , la saturación se produce para
y=104e1/200"10.050.
Los modelos probabilísticos(10)(11) no difieren de los
determinísticos, más que en la naturaleza de la variable
endógena. En el ámbito determinístico, la variable
x; o eventualmente t; es lo que en matemáticas se llama una
variable ordinaria; esto es, una variable cuyos valores se toman en un
conjunto numérico como referencia primaria. La asignación
de un valor a la variable x es un acto voluntario y premeditado. Sin
embargo, en un modelo probabilístico o estocástico, el
símbolo x alude a un valor tomado por una variable aleatoria que
es una función de conjunto; entendiendo por tal una regla que
asigna números reales a los sucesos o subconjuntos del espacio
muestral o espacio de resultados de un experimento aleatorio que es un
experimento cuyo conjunto de resultados es conocido; pero, sin que
pueda determinarse el de una prueba antes de su completa
realización. Un modelo probabilístico muy conocido es el
modelo de Gauss o Distribución Normal. Su expresión
reducida es la siguiente: . Su gráfica (Figura 4) es una curva
en forma de campana cuyas colas se extienden asintóticamente. La
expresión general de la curva es: .
Es bien sabido que la teoría de la probabilidad es el modo en
que la Matemática formaliza las leyes del azar y que son los
juegos de azar los que inspiran la búsqueda de la
axiomática que conduce a su formalización. A. de Moivre
da la primera idea en 1718 (The Doctrine of Chances), cuando trata de
calcular aproximadamente las probabilidades asociadas al modelo
binomial; una distribución de probabilidad discreta finita muy
intuitiva con dos respuestas: éxito o fracaso, verdadero o
falso, etc.; cuando se está ante un número muy elevado de
pruebas. El asunto es considerado años más tarde, en
1812, por P.S. de Laplace (Théorie analitique des
probabilités) y C.F. Gauss, uno de los matemáticos
más brillantes de todos los tiempos, consagra su interés
teórico y su utilidad práctica al encontrar su acomodo a
la distribución de los errores cometidos por azar al hacer
medidas astronómicas. Al hecho de ser una distribución de
probabilidad muy común, se debe su nombre: normal. Siguiendo la
metodología marcada por L.A.J. Quetelet 8c. 1870), F. Galton
encontró (c. 1890) numerosos ejemplos adaptados al modelo en el
ámbito de la Antropología y de la Genética Humana.
Hasta 1933 la Teoría de la Probabilidad no puede ser
considerada, sin reservas, una teoría matemática, aunque
desde 1812, debido a Laplace, se veía venir. Es cuando el
matemático ruso A.N. Kolmogorov, establece el marco
axiomático que permite su desarrollo formal. No obstante, las
fechas nos dicen que el ambiente estaba preparando el lecho desde
hacía (c. 1718) más de dos siglos. Casi
simultáneamente a la axiomatización de la Teoría
de la Probabilidad, R.A. Fisher(12) comienza a acercar el concepto a la
agricultura y a la genética de poblaciones produciéndose
el nacimiento de la Bioestadística, del Diseño
Experimental y del Análisis Multivariante(13). No hay parte
alguna de la Matemática, por abstracta que pueda parecernos que
sea descartable como instrumento de modelización, aunque la
inmensa mayoría de los contenidos de su cuerpo doctrinal se
hayan generado a través de un cauce deductivo radicalmente
formal. La Matemática tiene una gran vocación
interdisciplinar, son sus cultivadores los que generalmente
desdeñan la acción de aplicar conocimientos que se
han adquirido por una vía lógico-deductiva. Y no es
distinta la actitud de los especialistas que se ven obligados a
percibir la proximidad de la banda sonora que anuncia la posible
utilidad del lenguaje o del método matemático.
Habitualmente se alejan todo lo que pueden, unas veces por creer que
nada va a serle aportado y otras por haber tenido ya alguna experiencia
de incomunicación. Sin duda que en ello piensa J.I.
Díaz(14) cuando afirma que "la cooperación
interdisciplinar es bastante compleja y no es sencillo encontrar
medidas que la propicien".
La matematización no es una valoración
ni una cuantificación sino una modelización formal. Ello
supone que la estimación de los parámetros que
intervienen en el modelo, ha de hacerse por medio de instrumentos
matemáticos; pero, siempre según lo que opine el
experimentador. Por ejemplo, en el conocido modelo más simple
del sistema de Volterra-Lotka(4)(5): . Los coeficientes han de
ser valorados por el experimentador. El modelo expresa que la
variación instantánea de los efectivos de cada especie,
depende de sus efectivos actuales y de los "encuentros" con los
individuos de la otra especie. Habrá simbiosis si a12, a21>0,
competición si a12, a21<0 y una relación
depredador-presa cuando uno de los a12, a21 sea positivo y el otro
negativo. El sistema está formalizado, terminado, desde la
óptica de la Matemática, porque para abordar su estudio
no interesa conocer el valor de esos coeficientes. El estudio del
sistema consistirá en el establecimiento de los correspondientes
teoremas de existencia y unicidad de soluciones según el
espectro de alternativas que ofrezcan todas las valoraciones posibles
de los coeficientes.
En las álgebras genéticas(15)(16)(17)
"estructuras algebraicas inspiradas en el comportamiento evolutivo de
las especies" se trabaja con coeficientes cuya estimación
experimental sería compleja, prácticamente inaccesible en
muchos casos e imposible en otros. Pero eso no importa, porque no es un
asunto que tenga el menor interés para el matemático.
Veamos, de un modo sencillo, cómo aparecen estas
álgebras. Como es sabido, el material hereditario reside
esencialmente en los genes que son, desde el punto de vista
matemático, unidades de información. Consideremos una
población diploide "esto es, formada por elementos
genéticamente constituidos por una colección de pares de
cromosomas" diferenciando a sus individuos respecto de un determinado
locus "alojamiento en el cromosoma de las formas alélicas de un
gen; es decir, de las unidades que informan acerca de un determinado
carácter". Sea la colección {a1, a2, a3, … , an} la de
los gametos alelomorfos del locus observado. El conjunto formado por
las infinitas combinaciones lineales: con coeficientes reales, es una
conocida estructura, profusamente estudiada, llamada espacio vectorial.
Aquellos elementos caracterizados por las condiciones: 0i1, "i=1,
serían poblaciones gaméticas caracterizadas por el vector
cuyas componentes traducen las frecuencias relativas asociadas a la
presencia del correspondiente gameto. Si ahora suponemos que todos los
cigotos son igualmente fértiles, que el homocigótico aiai
solamente puede trasmitir el gameto ai y que el heterocigótico
aiaj produce gametos ai o aj en la misma proporción, puede
definirse: aiaj=(½)ai+(½)aj; formalmente, una
multiplicación entre los elementos de la base constituida por la
colección de cigotos. La introducción de esta
operación conduce a una rica estructura llamada álgebra a
la que un numeroso colectivo de matemáticos(18)(19) presta una
interesada y ya larga atención. Pero, ya no se trata más
que del formalismo derivado del discurrir lógico"deductivo. Es
posible que si un genetista fuera capaz de leer matemáticas, los
resultados formales le sugirieran investigaciones nunca imaginadas;
pero, esta es una cuestión, en todo caso, ajena al quehacer
matemático. El problema reside en lo que en el prólogo de
una obra importante(20) dice Bruter: "La diferencia entre la lectura de
una novela policiaca y la de un texto matemático es la
siguiente: en el primer caso, el significado del vocabulario es
perfectamente conocido por el lector, puede engullir su novela sin
dificultad; en el segundo caso, es preciso aprender, a cada paso, el
significado de los términos empleados, lo que retrasa
considerablemente la marcha del espíritu en el descubrimiento de
los enigmas del mundo matemático". Precisamente, Bruter aborda
la fascinante tarea de explicar la conexión entre formalismos
del análisis matemático y ciertas percepciones
sensoriales, en un tiempo dominado por la legendaria obra de R.
Thom(21), prologuista de la de Bruter, que tanto ha tenido que ver con
la posterior Teoría del Caos o la de los Fractales. Es curioso
constatar que el precedente de Thom y sus numerosos consecuentes deban
mucho al trabajo memorable de un pensador singular, D'Arcy
Thompson, difundido a través de la edición abreviada de
J.T. Bonner(22). En este extraordinario libro, D'Arcy dice algo que, en
ocasión como esta, nos parece especialmente oportuno repetir:
"El estudio de la forma puede ser meramente descriptivo o puede ser
analítico. Comenzamos por describir la forma de un objeto en
palabras sencillas, de lenguaje corriente; terminamos
definiéndolo en el preciso lenguaje de los matemáticos;
un método tiende a seguir al otro en estricto orden
científico y con continuidad histórica. Así por
ejemplo, la forma de la Tierra, de una gota de lluvia o del arco iris,
la forma de una cadena que oscila o la trayectoria de una piedra
arrojada al aire, pueden describirse adecuadamente con palabras
corrientes. Pero cuando hemos aprendido a comprender y definir la
esfera, la catenaria o la parábola, hemos realizado un avance
considerable. (…) Podría pensarse que las definiciones
matemáticas son demasiado estrictas y rígidas para el uso
corriente, pero su rigor está combinado con una libertad casi
infinita. La definición exacta de una elipse nos introduce a
todas las elipses del mundo, la definición de una sección
cónica amplía nuestro concepto, y una curva de orden
superior aumenta aún más nuestro campo de libertad". Hoy
se dispone de la informática para el estudio y el reconocimiento
de formas. Recientemente un grupo de cientificos(23)(24)(25) ha
materializado por medio de la informática, la expresión
algebraica de formas extraídas de la Naturaleza y de los
procesos asociados a la Vida.
Referencias
(1)Pérez de Vargas, A. et al.: Elementos de
Biomatemática. E. Fragua, Madrid, 1980.
(2)Wartofsky, M. W.: Filosofía de la Ciencia 1, 2. Alianza,
Madrid, 1973.
(3)Cañón, C.: Matemática: creación y
descubrimiento. U.Comillas. Madrid, 1993.
(4)Martínez Calvo, Mª C. et al.: Métodos
Matemáticos en Biología. Edit. Centro de Estudios
Ramón Areces. Madrid, 1993.
(5)Martínez C., Mª C. et al.: Prob. de Biomat. E. C.de E.
R. Areces, Madrid, 1995.
(6)Malthus, T.R.: An essay on the principle of population, and A
summary view of the principle of population. Penguin, Harmondsworth,
1978.
(7)Verhulst, P.F.: Notice sur la loi que la population suit dans son
accroissement. Correspondance mathématique et physique, 10,
113"121.
(8)Pearl R.: The Biology of Population Growth. A.A. Knopf, New York,
1928.
(9)Slobodkin, L.: Popul. dynamics in Daphnia obtusa Kurz. Ecol. Mon. 24
69"88.
(10)Pérez de Vargas, A. et al.: Bioestadística. E. C.de
E. R. Areces, Madrid, 1996.
(11)Pérez de Vargas, A. et al..: Estadística
Biométrica. Edit. Síntesis, Madrid 2000.
(12)Fisher, R.A.: Statistical Methods, Experimental Design and
Scientific Inference (Re-issue). Oxford U.P., Oxford, England, 1990.
(13)Abraira, V. et al.: Métodos Multivariantes en
Bioestadística. Edit. Centro de Estudios Ramón Areces,
Madrid, 1996.
(14)Díaz Díaz, J.I.: El mundo de la ciencia y las
matemáticas del mundo. Discurso de ingreso en la R.A. de
Ciencias Exactas, Físicas y Naturales, Madrid, 1997.
(15)Bertrand, M.: Algèbres non asso. et alg.
génétiques. Gauthier-V., Paris, 1966.
(16)Wörz-Busekross, A.: Algebras in Genetics. Spinger-Verlag,
Berlín, 1980.
(17)Lyubich, Y.I.: Mathematical Structures in Populations Genetics.
Spinger-Verlag, Berlín, 1992 (versión original en ruso:
Naukova Dumka, Kiev, 1983).
(18)Pérez de Vargas A. et al.: Genetic Algebra for Two'Linked
Loci with Complet Crossing'Over. II Conference on Mathematics at
Service of Man. Las Palmas de Gran Canaria, 1982.
(19)López"Sánchez J. and Pérez de Vargas A.:
Zygotic Algebra for Two'Linked Loci with Sexually Diff. Recomb. Rates .
Bull. of Math. Biology 47 771'782, 1985.
(20)Bruter, C.P.: Topologie et perception, I, II. Doin, Maloin, Paris
1974.
(21)Thom R.: Stabilité struct. et morphogénèse.
W.A.Benjamin, Mass., USA, 1972.
(22)D'Arcy Thompson: Sobre el Crecimiento y la Forma. H.Blume, Madrid,
1980 (original en Cambridge U.P., 1961).
(23)Andersson H. S. et al.: The Lenguage of Shape. Elsevier, Amsterdam,
1997.
(24)Jacob, M.: The nature of Math and the math. of nat.. Elsevier,
Amsterdam, 1997.
(25)Andersson, S. et al.: Biomathematics. Elsevier, Amsterdam, 1999.