BIOMATEMÁTICAS

El alumno debe ser capaz de:

1. Habituarse como científico a seguir un razonamiento riguroso, lógico y objetivo.(CG4)

2. Analizar y resolver problemas cualitativos y cuantitativos en el área de la Biología.(CG06)

3. Desarrollar la capacidad de análisis y síntesis.(CG8)

4. Potenciar el aprendizaje autónomo y el trabajo en equipo.(CT12)

5. Estimular, mediante la formulación de problemas, la capacidad innata para desarrollar nuevas estrategias ante nuevas situaciones.(CT7 y CT10)

El alumno deberá adquirir:

1. Capacidad para interpretar matemáticamente procesos biológicos, describiendo en este contexto la Dinámica de Poblaciones y las interacciones entre especies.(CE8)

2. Capacidad para plantear, resolver e interpretar modelos determinísticos basados en ecuaciones diferenciales.(CE17)

3. Manejo de programas informáticos de apoyo a los procesos de cálculo y modelización matemática en Biología.(CE20)

Con todo esto se pretende que el biólogo sea capaz de:

I. Analizar e interpretar, con rigor científico, el comportamiento de los seres vivos.

II. Diseñar modelos matemáticos de procesos biológicos.

III. Conocer y manejar software que le permita analizar y estudiar procesos biológicos.

Combinación equilibrada de enseñanza presencial-no presencial. La práctica docente de este módulo seguirá́ una metodología mixta, que combinará teoría y práctica, para lograr un aprendizaje basado en la adquisición de competencias. Esta metodología docente tiene como objetivo un aprendizaje cooperativo y colaborativo. Al inicio del módulo se presentará la planificación de las actividades formativas al estudiante para facilitar su proceso de aprendizaje. El estudiante deberá́ dedicar entre el 60-70% de los ECTS a trabajo y estudio autónomo. El profesor jugará un papel pre-activo, orientando hacia un aprendizaje colaborativo y cooperativo, a lo largo de todo el curso.
En las clases teóricas se introducirán los conceptos y técnicas básicas para el planteamiento y resolución de diversos modelos matemáticos de dinámica de poblaciones y otros procesos dinámicos de interés en el campo de la Biología.
En los seminarios, se formularán modelos de dinámica de procesos biológicos que se analizarán y resolverán mediante las técnicas adquiridas en las clases teóricas.

En los laboratorios, asistidos por ordenador, los alumnos resolverán utilizando software de cálculo simbólico los supuestos prácticos de cálculo más laboriosos.

Bloque 1.- Introducción a la modelización en Biología

Bloque 2.- Modelización de un proceso biológico

Bloque 3.- Modelización de sistemas biológicos

Bloque 4.- Estudio cualitativo de sistemas biológicos

La evaluación se realizará de forma continua mediante:

1. Pruebas objetivas de conocimientos y resolución de ejercicios y casos prácticos (60%)

2. Valoración de la destreza técnica desarrollada en el laboratorio y/o prácticas de campo (30%)

3. Realización de trabajos y su defensa (5%)

4. Actitud y participación pertinente del estudiante en todas las actividades formativas y el uso adecuado del Campus Virtual y TICs aplicadas a su materia (5%)

Para la obtener el aprobado de la asignatura es necesario tener un mínimo de 4 sobre 10 en cada una de las cuatro partes evaluables (pruebas escritas, prácticas, trabajos y actitud).

BLOQUE 1

1.- Introducción. Importancia y necesidad de las funciones en el contexto biológico. Interpretación y aplicaciones de la derivada, crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos. Tasa de crecimiento. Extinción y comportamiento poblacional a la larga.

2.- Concepto de modelo matemático. Partes del proceso de modelización, interpretación e idea sobre el cálculo de las constantes de un modelo, solución del modelo, información que aporta el modelo.

BLOQUE 2

3.- Las ecuaciones diferenciales como parte de los modelos. Ecuaciones de variables separables, lineales y de Bernoulli. Resolución numérica de ecuaciones diferenciales: Métodos numéricos.

4.- Iniciación a la modelización. Ecuaciones diferenciales de variables separables.  Modelo de crecimiento no acotado: crecimiento exponencial o Malthusiano. Modelo de crecimiento bacteriano en un quimiostato. Modelo de crecimiento acotado: ecuación de Verhulst y modelo Logístico. Modelos epidemiológicos. Modelo de crecimiento de un tumor: modelo de Gompertz. Ecuaciones diferenciales lineales. Modelo elemental de metabolismo. Modelo de crecimiento en talla de los peces en una piscifactoría: modelo de Von Bertalanffy. Ecuaciones diferenciales de Bernoulli.

BLOQUE 3

5.- Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de orden 2. Teoría general. Matrices de 2x2, vectores propios y valores propios. Sistemas de Ecuaciones lineales con coeficientes constantes de 2x2, sistema homogéneo, Soluciones linealmente independientes, teoremas. Sistemas completos: Método del tanteo y método de variación de parámetros.  Generalización a sistemas de orden 3 y de orden n.

BLOQUE 4

6.- Introducción al estudio cualitativo de los modelos. Depredación, competencia y cooperación. Concepto de órbita y solución cualitativa. Modelo predador-presa de Volterra-Lotka.

Práctica 1.- Introducción a wxMaxima o Matlab. Cálculo de límites, derivadas, integrales y polinomios de Taylor y representación gráfica de funciones.
Práctica 2.- Ecuaciones diferenciales. Obtención y representación de soluciones numéricas y campos de direcciones.

Práctica 3.- Diagonalización de matrices. Modelos matriciales en Biología y sistemas de EDOs lineales.

Práctica 4.- Sistemas EDOs no lineales. Puntos de equilibrio y diagramas de base.

Práctica 5.- Repaso de prácticas anteriores ya sea mediante examen o exposición de tareas.

Introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias.

Resolución de modelos biológicos de ecuaciones diferenciales.

Construcción, interpretación y resolución de modelos biológicos de ecuaciones diferenciales.

Introducción a los sistemas de ecuaciones diferenciales: matrices, operaciones con matrices, diagonalización de matrices

Resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.

Construcción, interpretación y resolución de sistemas biológicos de ecuaciones diferenciales lineales.

Resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales.

TEXTOS DISPONIBLES EN LA BIBLIOTECA DE LA UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID
-MARTÍNEZ CALVO, M.C. y PÉREZ DE VARGAS, A. (1993). Métodos Matemáticos en Biología. Ed. C. de E. Ramón Areces. Madrid.

-MARTÍNEZ CALVO, M.C. y PÉREZ de VARGAS, A. (1995). Problemas de Biomatemática. Ed. C. de E. Ramón Areces. Madrid. -MARTÍNEZ CALVO , M.C., FERNÁNDEZ BERMEJO , E., GONZÁLEZ MANTEIGA , M.T., LAHOZ BELTRÁ , R., PERALES GRAVÁN , C. Matemáticas Básicas para Biólogos. CD-ROM Proyectos PIE 2003/3. Ed. Universidad Complutense.

-MARTÍN, M.A. (2013). Matemáticas Bioenriquecidas. http://www.matematicasbioenriquecidas.com

-SOLA CONDE, L.E. (2016). Introducción a los métodos matemáticos en Biología y Ciencias Ambientales. Ed. Paraninfo.

-NEUHAUSER C. (2004). Matemáticas para Ciencias. Ed. Prentice Hall.

-EDWARDS C.U., PENNEY D. (1999). Ecuaciones Diferenciales Elementales. Ed. Prentice Hall

-EMLEN J.M. (1994). Population Biology. Ed. Macmillan.

LECTURAS RECOMENDADAS:

-LAHOZ BELTRÁ, R. (2010). Las Matemáticas de la Vida. Modelos Numéricos para la Biología y la Ecología. Ed. RBA, Colección “El mundo es matemático”.

-LAHOZ BELTRÁ, R. (2004). Bioinformática. Simulación, vida artificial e inteligencia artificial. Ediciones Díaz de Santos.

-MAYNARD S MITH, J. (1971). Mathematical Ideas in Biology. Ed. Cambridge U.P. Cambridge.

-MAYNARD S MITH, J. (1974). Model in Ecology. Ed. Cambridge U.P. Cambridge.

-PÉREZ-CACHO GARCÍA, S., GÓMEZ CUBILLO, F.M., MARBAN PRIETO, J.M. (2002). Modelos Matemáticos y Procesos Dinámicos: un primer contacto. Ed. Universidad de Valladolid.

-BRAUER, F., CASTILLO-CHAVEZ, C. (2001). Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology. Ed. Springer.

-HASSELL, M.P. Hassell. (1988). Dinámica de la competencia y la depredación. Ed. Oikos-tau.

-BURGHES, D.N., BORRIE, M.S. (1981). Modelling with Differential Equations. Ellis Horwood Limited.

-BRAUN, M. (1990). Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones. Grupo Editorial Iberoamérica.

-ZILL, D.G. (2007). Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado. Ed.Thomson.